Question

【題目】關于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有兩個相等的實數根，其中∠A是銳角三角形ABC的一個內角．

（1）求sinA的值；

（2）若關于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的兩個根恰好是△ABC的兩邊長，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）sinA=；（2）△ABC的周長為或16．

【解析】

（1）利用判別式的意義得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=；

（2）利用判別式的意義得到100-4（k2-4k+29）≥0，則-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，則△ABC是等腰三角形，且腰長為5．

分兩種情況：當∠A是頂角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，利用三角形函數求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周長；

當∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函數求出AD得到AC的長，從而得到△ABC的周長．

（1）根據題意得△=25sin2A-16=0，

∴sin2A=，

∴sinA=±，

∵∠A為銳角，

∴sinA=；

（2）由題意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個實數根，

則△≥0，

∴100-4（k2-4k+29）≥0，

∴-（k-2）2≥0，

∴（k-2）2≤0，

又∵（k-2）2≥0，

∴k=2，

把k=2代入方程，得y2-10y+25=0，

解得y1=y2=5，∴△ABC是等腰三角形，且腰長為5．

分兩種情況：

當∠A是頂角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，在Rt△ABD中，AB=AC=5，

∵sinA=，

∴AD=3，BD=4∴DC=2，

∴BC=2．

∴△ABC的周長為10+2；

當∠A是底角時：如圖，過點B作BD⊥AC于點D，

在Rt△ABD中，AB=5，

∵sinA=，

∴AD=DC=3，

∴AC=6．

∴△ABC的周長為16，

綜合以上討論可知：△ABC的周長為10+2或16．