Question

8．如圖A，B兩點分別在反比例函數y=-$\frac{1}{x}$（x＜0）和y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上，連接OA、OB，若OA⊥OB，OB=2OA，則k的值為（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -4
• D． 4

Answer 1

分析 過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F，先證得△AEO∽△OFB，根據相似三角形的性質得出OF=2AE，BF=2OE，設A（a，b），代入y=-$\frac{1}{x}$得出ab=-1，因為OE=-a，AE=b，所以AE•OE=-ab=1，設B（x，y），則OF=x，BF=y，即可求得k=xy=4．

解答 解：如圖，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F．
∵OA⊥OB，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{OE}{BF}$=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OF=2AE，BF=2OE，
∴OF•BF=2AE•2OE=4AE•OE，
∵A點在反比例函數y=-$\frac{1}{x}$上，
設A（a，b），
∴k=ab=-1，
∵OE=-a，AE=b，
∴AE•OE=-ab=1，
設B（x，y），
∴OF=x，BF=y，
∴OF•BF=4，
∴k=xy=4．
故選D．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）中比例系數k的幾何意義：過反比例函數圖象上任意一點分別作x軸、y軸的垂線，則垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為|k|．