Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．
證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．
∴AB=ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四邊形AECD是菱形．
過A作AG⊥BE于點G，
∴AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=，
∴S_菱形AECD=ECAG=2×=2