Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．點M，N分別在邊AD，BC上運動，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為E，F．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）求四邊形MEFN面積的最大值；
（3）試判斷四邊形MEFN能否為正方形？若能，求出正方形MEFN的面積；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題的關鍵是求梯形的高，可通過梯形兩底的差和腰的長求出梯形的高，然后根據梯形的面積公式即可得出梯形ABCD的面積．
（2）可用二次函數來求解．可設四邊形MEFN（其實是矩形）的面積為y，AE=BF=x，那么可根據AB的長表示出EF，然后根據相似三角形△AEM和△AGD得出的關于EM、GD、AE、AG的比例關系式用x表示出ME （也可用∠A的正切函數來求），然后根據矩形的面積公式即可得出y、x的函數關系式，根據函數的性質即可求出y的最大值也就是矩形MEFN的最大面積．
（3）若四邊形MEFN為正方形，那么ME=EF，可據此確定x的值，然后將x的值代入（2）的函數式中即可求出正方形MEFN的面積．

解答：解：（1）分別過D，C兩點作DG⊥AB于點G，CH⊥AB于點H．
∵AB∥CD，
∴DG=CH，DG∥CH．
∴四邊形DGHC為矩形，GH=CD=1．
∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，
∴△AGD≌△BHC（HL）．
∴AG=BH=

AB-GH

2

=

7-1

2

=3．
∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，
∴DG=4．
∴S_梯形ABCD=

(1+7)×4

2

=16．

（2）∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，
∴ME=NF，ME∥NF．
∴四邊形MEFN為矩形．
∵AB∥CD，AD=BC，
∴∠A=∠B．
∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，
∴△MEA≌△NFB（AAS）．
∴AE=BF．
設AE=x，則EF=7-2x．
∵∠A=∠A（公共角），∠MEA=∠DGA=90°，
∴△MEA∽△DGA．
∴

AE

AG

=

ME

DG

．
∴ME=

4

3

x．
∴S_矩形MEFN=ME•EF=

4

3

x（7-2x）=-

8

3

（x-

7

4

）²+

49

6

．
當x=

7

4

時，ME=

7

3

＜4，
∴四邊形MEFN面積的最大值為

49

6

．

（3）能．
由（2）可知，設AE=x，則EF=7-2x，ME=

4

3

x．
若四邊形MEFN為正方形，則ME=EF．
即

4x

3

=7-2x．
解得x=

21

10

．
∴EF=7-2x=7-2×

21

10

=

14

5

＜4．
∴四邊形MEFN能為正方形，其面積為S_{正方形MEFN}=（

14

5

）²=

196

25

．

點評：本題考查了等腰梯形的性質，矩形的性質，正方形的判定，相似三角形的性質以及二次函數的應用等知識點．綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．