Question

20．已知△ABC，△EFG均是邊長為4的等邊三角形，點D是邊BC、EF的中點．
（Ⅰ）如圖①，這兩個等邊三角形的高為2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）如圖②，直線AG，FC相交于點M，當△EFG繞點D旋轉時，線段BM長的最小值是2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖①中，連接AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可解決問題．
（Ⅱ）如圖①中，連接AE、EC、CG．首先證明∠AMF=90°，在如圖②中，當點M運動到BM⊥AC時，BM最短，由此即可解決問題．

解答 解：（Ⅰ）如圖①中，連接AD，

∵△ABC是等邊三角形，BD=CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=2，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為2$\sqrt{3}$．

（Ⅱ）如圖①中，連接AE、EC、CG．
∵DE=DF=DC，
∴△EFC是直角三角形，
∴∠ECF=90°，
∵∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADE=∠GDC，
在△ADE和△GDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DG}\\{∠ADE=∠GDC}\\{DE=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GDC，
∴AE=CG，∠DAE=∠DGC，
∵DA=DG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴∠GAE=∠AGC，
∵AG=GA，
∴△AGE≌△GAC，
∴∠GAK=∠AGK，
∴KA=KG，∵AC=EG，
∴EK=KC，
∴∠KEC=∠KCE，
∵∠AKG=∠EKC，
∴∠KAG=∠KCE，
∴EC∥AG，
∴∠AMF=∠ECF=90°，
∴點M在以AC為直徑的圓上運動，
如圖②中，當點M運動到BM⊥AC時，BM最短，

∵OB=2$\sqrt{3}$，AO=OM=OC=2，
∴BM的最小值為2$\sqrt{3}$-2．
故答案為2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、圓的有關知識等知識，解題的關鍵是證明∠AMF=90°，判斷出點M在以AC為直徑的圓上運動，屬于中考常考題型．