Question

（2007•濟寧）某小區有一長100m，寬80m的空地，現將其建成花園廣場，設計圖案如下，陰影區域為綠化區（四塊綠化區是全等矩形），空白區域為活動區，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m．預計活動區每平方米造價60元，綠化區每平方米造價50元．設每塊綠化區的長邊為x m，短邊為y m，工程總造價為w元．
（1）寫出x的取值范圍；
（2）寫出y與x的函數關系式；
（3）寫出w與x的函數關系式；
（4）如果小區投資46.9萬元，問能否完成工程任務？若能，請寫出x為整數的所有工程方案；若不能，請說明理由．（參考數據：≈1.732）

Answer 1

【答案】分析：本題是用函數解決實際中的面積問題，造價問題，根據題意可以列出y與x的一次函數關系，工程造價w與x二次函數關系，再利用二次函數解決實際問題．
（1）由等量關系“活動區出口的寬度+綠化區的長的2倍=空地的長”用x將寬度表示出來，再根據寬度的范圍求得x的取值范圍；
（2）由四周出口一樣寬可得“空地的長-綠化區的長的2倍=空地的寬-綠化區的寬的2倍”列出函數關系式；
（3）由等量關系“總造價=綠化區的造價+活動區的造價”列出函數關系式；
（4）將投資總額w代入函數關系式求值，分析工程方案．
解答：解：（1）∵50≤100-2x≤60，
∴20≤x≤25；

（2）由于四周出口一樣寬，100-2x=80-2y，即：y=x-10；

（3）w=4xy×50+（100×80-4xy）×60
=480000-40xy
=480000-40x（x-10）
∴w=-40x²+400x+480000；

（4）當w=469000時
-40x²+400x+480000=469000
即x²-10x-275=0解得x₁=5+10，x₂=5-10
∵x＞0
∴x=5+10≈22.32
因為x增大，綠化區面積會增大，從而活動區面積會減小，工程總造價會降低，
所以整數x應滿足22＜x≤25．
所以，能夠完成工程任務，符合條件的所有工程方案有如下三個：
①綠化區長邊為23m，短邊為13m；
②綠化區長邊為24m，短邊為14m；
③綠化區長邊為25m，短邊為15m．
點評：本題考查點實際問題中一次函數、二次函數的求法，二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．