Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數的表達式．
（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數的值；
（2）由于菱形的對角線互相垂直平分，若四邊形POP′C為菱形，那么P點必在OC的垂直平分線上，據此可求出P點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標；
（3）由于△ABC的面積為定值，當四邊形ABPC的面積最大時，△BPC的面積最大；過P作y軸的平行線，交直線BC于Q，交x軸于F，易求得直線BC的解析式，可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標，即可得到PQ的長，以PQ為底，B點橫坐標的絕對值為高即可求得△BPC的面積，由此可得到關于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應的P點坐標．
解答：解：（1）將B、C兩點的坐標代入得，
解得：；
所以二次函數的表達式為：y=x²-2x-3（3分）

（2）存在點P，使四邊形POP′C為菱形；
設P點坐標為（x，x²-2x-3），PP′交CO于E
若四邊形POP′C是菱形，則有PC=PO；
連接PP′，則PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴y=；（6分）
∴x²-2x-3=
解得x₁=，x₂=（不合題意，舍去）
∴P點的坐標為（，）（8分）

（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，設P（x，x²-2x-3），
易得，直線BC的解析式為y=x-3
則Q點的坐標為（x，x-3）；
S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=
=（10分）
當時，四邊形ABPC的面積最大
此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．（12分）
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、菱形的判定和性質以及圖形面積的求法等知識，當所求圖形不規則時通常要將其轉換為其他規則圖形面積的和差關系來求解．