Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請給出證明；若不相切，說明理由；
（2）如果AD，AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，試求直角邊BC的長；
（3）試在（1）（2）的基礎上，提出一個有價值的問題（不必解答）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，BD，根據圖形中角與角之間的關系易得∠EDO=90°，故OD⊥DE，DE與半圓O相切；
（2）求解方程可得AD，AB的長，同時易得Rt△ABD∽Rt△ACB，即AB²=AD•AC，根據勾股定理可得BC的長；
（3）根據題意，提出問題即可，如求四邊形ABED的面積，符合題意即可．
解答：解：（1）DE與半圓O相切．
證明：連接OD，BD，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠BDA=∠BDC=90°．
∵在Rt△BDC中，E是BC邊上的中點，
∴DE=BE=BC，得∠EBD=∠BDE．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，故DE與半圓O相切．

（2）∵BD⊥AC，
∴Rt△ABD∽Rt△ACB．
∴．
即AB²=AD•AC．
∴AC=．
∵AD，AB的長是方程x²-10x+24=0的兩個根，
∴解方程得x₁=4，x₂=6．
∵AD＜AB，
∴AD=4，AB=6．
∴AC===9．
又∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=9，
∴BC==3．

（3）問題1：求四邊形ABED的面積；
問題2：求兩個弓形的面積；
問題3：求的值．
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．