Question

三角板是我們數學學習必不可少的工具，如圖1是一副含45°和30°的三角板，其中三角板ABC中，∠A=∠B=45°，AC=BC；三角板DEF中，∠D=60°，∠E=30°．
現在我們進行如下操作：把含30°的三角板的直角頂點F位于另一三角板的斜邊中點上，邊FD與AC相交于點M，邊FE與BC相交于點N，將三角板DEF繞點F旋轉，點M、N分別在線段AC、BC上相應移動．
（1）請你探究：當∠AFD=45°時（如圖2），FM與FN有怎樣的數量關系？請說明理由；
（2）請你猜想：在三角板DEF繞點F旋轉過程中，（1）中FM 與FN的數量關系還成立嗎？如果成立，請說明理由；如果不成立，請舉反例說明（圖3供實驗、操作備用）．

Answer 1

分析：（1）根據題意可求得∠AFM=∠BFN，則△AFM≌△BFN（ASA），所以得到FM=FN；
（2）結論仍成立，如圖，根據題意得出∠M₀FM=∠N₀FN，由外角的性質得∠MM₀F=90°，從而得出∠MM₀F=∠NN₀F，可證得△MM₀F≌△NN₀F（ASA），則FM=FN．

解答：解：（1）∵F為AB中點
∴AF=BF（1分）
∵∠AFM=45°，∠DFE=90°
∴∠BFN=180-∠AFM-∠DFE
=180-45°-90°=45°
∴∠AFM=∠BFN（2分）
在△AFM和△FBN中

∠B=∠A(已知) AF=BF ∠AFM=∠BFN

∴△AFM≌△BFN（ASA）
∴FM=FN（3分）

（2）猜想：FM=FN仍然成立（1分）
理由如下（如圖）：
∵∠M₀FN₀=∠MFN=90°
∴∠M₀FN₀-∠MFN₀=∠MFN-∠MFN₀
∴∠M₀FM=∠N₀FN（2分）
∵∠MM₀F為△AM₀F的外角；
∴∠MM₀F=∠A+∠AFM₀=2×45=90°
∵∠FN₀B=180-∠B-∠BFN₀=90°
∴∠MM₀F=∠NN₀F（3分）
又由（1）可知：M₀F=N₀F
在△MM₀F和△NN₀F中

∠M0FM=∠N0FN M0F=N0F ∠MM0F=∠NN0F

∴△MM₀F≌△NN₀F（ASA）
∴FM=FN．（4分）
（其它證法酌情給分）

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，外角的性質，是中檔題，難度不大．