Question

如圖，二次函數y=-x²+mx+n的圖象與y軸交于點N，其頂點M在直線y=-x上運動，O為坐標原點．

（1）當m=-2時，求點N的坐標；
（2）當△MON為直角三角形時，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），當拋物線y=-x²+mx+n在對稱軸左側的部分與△ABC的三邊有公共點時，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用頂點式得出M點坐標，再利用頂點在直線y=-x上，得出m與n的關系，進而得出n的值，即可得出N點坐標；
（2）若點M在第二象限時，△MON不可能為直角三角形，當點M在坐標原點時，△MON不存在，若點M在第四象限，當△MON為直角三角形時，顯然只有∠OMN=90°，再利用△OMN∽△MHO，得出OM²=MH•ON，設M（m，-m），則MH=m，OM²=m²，而ON=-n，得出m²=m×（-n），又m²+n=-m求出n，m的值即可；
（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，當點A（-4，2）在該拋物線上時，-×（-4）²+4m-m²-m=2，求出m的值，再求出直線BC的解析式為：y=x+7，代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，令△=0得m的值，進而得出m的取值范圍．
解答：解：（1）∵y=-（x-m）²+m²+n，
∴拋物線頂點M坐標為：（m，m²+n），
∵頂點在直線y=-x上，
∴m²+n=-m，
當m=-2時，n=1，
∴點N的坐標為：（0，1）；

（2）若點M在第二象限時，△MON不可能為直角三角形，當點M在坐標原點時，
△MON不存在，若點M在第四象限，當△MON為直角三角形時，顯然只有∠OMN=90°，
如圖1，過點M在x軸的垂線，垂足為H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴=，
∴OM²=MH•ON，
設M（m，-m），則MH=m，OM²=m²，而ON=-n，
∴m²=m×（-n），
即n=-m①，
又m²+n=-m②，
由①②解得：
m=，n=-；

（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，
當點A（-4，2）在該拋物線上時，
-×（-4）²+4m-m²-m=2，
整理得出：m²+11m+20=0，
解得：m=，
∵在對稱軸的左側，∴m只能取，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
設直線BC的解析式為y=ax+b，
則，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y=x+7，
代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）²-4（m²+3m+14）=0，
解得：m=-，
∴≤m≤-．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式和根的判別式等知識，熟練利用數形結合得出m的取值范圍是解題關鍵．