Question

如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，點C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD、DB．
（1）當∠ADC=18°時，求∠DOB的度數；
（2）若AC=2，求證：△ACD∽△OCB．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，根據OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度數，求出∠DAB，根據圓周角定理求出即可；
（2）過O作OE⊥AB于E，根據垂徑定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC長得出=，根據相似三角形的判定推出即可．
解答：（1）解：連接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圓周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．

（2）證明：過O作OE⊥AB于點E，垂足為E，
∵OE過O，
由垂徑定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=OB=2，
由勾股定理得：BE=2=AE，
即AB=2AE=4，
∵AC=2，
∴BC=2，
即C、E兩點重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2，
∴==，
∴△ACD∽△OCB（兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似）．
點評：本題綜合考查了垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生能否運用性質進行推理，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．