Question

如圖所示，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC交x軸于D，交△ABO的外接圓⊙M于C，已知∠COD=∠OBC．
（1）求證：MC⊥OA；
（2）求直線BC的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠COD=∠OBC，可以得出，再利用垂徑定理就可以直接得出結論MC⊥OA；
（2）由直線的解析式可以求出OA、OB的值，由（1）的結論就可以求出OG、GM的值，連接OM求出⊙M的半徑，從而求出GC的值而求出C點的坐標，最后利用待定系數法就可以求出直線BC的解析式．
解答：（1）證明：∵∠COD=∠OBC，
∴，
∵點M是圓心，
∴由垂徑定理的推論，得
MC⊥OA；

（2）解：∵MC⊥OA，
∴OG=GA=OA，
∵點M是圓心，
∴BM=AM，
∴GM是△AOB的中位線，
∴GM=OB，
∵與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴當x=0時，y=，
當y=0時，x=3，
∴B（0，），A（3，0）
∴OB=，OA=3，
∴MG=，OG=，連接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得
OM=，
∴GC=-=，
∵點C在第三象限，
∴C（，-）．
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴解得：，
直線BC的解析式為：y=-x+
點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了一次函數的圖象上點的坐標的特征，待定系數法求一次函數的解析式，三角形中位線的性質的運用，勾股定理的運用及圓的相關性質的運用．