Question

如圖1在平面直角坐標系中，⊙O₁與x軸切于A（-3，0）與y軸交于B、C兩點，BC=8，連AB．

（1）求證：∠ABO₁=∠ABO；
（2）求AB的長；
（3）如圖2，過A、B兩點作⊙O₂與y軸的正半軸交于M，與O₁B的延長線交于N，當⊙O₂的大小變化時，得出下列兩個結論：①BM-BN的值不變；②BM+BN的值不變．其中有且只有一個結論正確，請判斷正確結論并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接O₁A，由圓O₁與x軸切于A，根據切線的性質得到O₁A垂直于OA，由OB與AO垂直，根據平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到O₁A與OB平行，根據兩直線平行內錯角相等，得到一對內錯角相等，再由O₁A=O₁B，根據等邊對等角可得出一對角相等，等量代換可得出∠ABO₁=∠ABO，得證；
（2）作O₁E⊥BC于點E，根據垂徑定理得到E為BC的中點，由BC的長求出BE的長，再由A的橫坐標得出OA的長，即為O₁E的長，在直角三角形O₁BE中，根據勾股定理求出O₁B的長，用OE-BE求出OB的長，在直角三角形AOB中，根據勾股定理即可求出AB的長；
（3）兩個結論中，①BM-BN的值不變正確，理由為：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，由∠ABO₁為四邊形ABMN的外角，根據圓內接四邊形的外角等于它的內對角，可得出∠ABO₁=∠NMA，再由∠ABO₁=∠ABO，等量代換可得出∠ABO=∠NMA，然后利用同弧所對的圓周角相等可得出∠ABO=∠ANM，等量代換可得出∠NMA=∠ANM，根據等角對等邊可得出AM=AN，再由同弧所對的圓周角相等，及OM=BN，利用SAS可得出三角形AMG與三角形ABN全等，根據全等三角形的對應邊相等可得出AG=AB，由AO與BG垂直，根據三線合一得到O為BG的中點，根據OB的長求出BG的長，然后BM-BN=BM-MG=BG，由BG為常數得到BM-BN的長不變，得證．
解答：解：（1）連接O₁A，則O₁A⊥OA，又OB⊥OA，
∴O₁A∥OB，
∴∠O₁AB=∠ABO，
又∵O₁A=O₁B，
∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∴∠ABO₁=∠ABO；

（2）作O₁E⊥BC于點E，
∴E為BC的中點，
∵BC=8，∴BE=BC=4，
∵A（-3，0），
∴O₁E=OA=3，
在直角三角形O₁BE中，
根據勾股定理得：O₁B==5，
∴O₁A=EO=5，
∴BO=5-4=1，
在直角三角形AOB中，
根據勾股定理得：AB==；

（3）①BM-BN的值不變，理由為：
證明：在MB上取一點G，使MG=BN，連接AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO₁為四邊形ABMN的外角，
∴∠ABO₁=∠NMA，又∠ABO₁=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，又∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG和∠ANB都為所對的圓周角，
∴∠AMG=∠ANB，
在△AMG和△ANB中，
∵，
∴△AMG≌△ANB（SAS），
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM-BN=BM-MG=BG=2其值不變．
點評：此題考查了切線的性質，坐標與圖形性質，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質，以及全等三角形的判定與性質．熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．