Question

如圖，已知拋物線y=a(x-1)2+3

3

(a≠0)經過點A（-2，0），拋物線的頂點為D，過O作射線OM∥AD．過頂點D平行于x軸的直線交射線OM于點C，B在x軸正半軸上，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若動點P從點O出發，以每秒l個長度單位的速度沿射線OM運動，設點P運動的時間為t（s）．問：當t為何值時，四邊形DAOP分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，動點P和動點Q分別從點O和點B同時出發，分別以每秒l個長度單位和2個長度單位的速度沿OC和BO運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動設它們運動的時間為t（s），連接PQ，當t為何值時，四邊形BCPQ的面積最�。坎⑶蟪鲎钚≈担�
（4）在（3）中當t為何值時，以O，P，Q為頂點的三角形與△OAD相似？（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）將A的坐標代入拋物線y=a（x-1）²+3

3

（a≠0）可得a的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）易得D的坐標，過D作DN⊥OB于N；進而可得DN、AN、AD的長，根據平行四邊形，直角梯形，等腰梯形的性質，用t將其中的關系表示出來，并求解可得答案；
（3）根據（2）的結論，易得△OCB是等邊三角形，可得BQ、PE關于t的關系式，將四邊形的面積用t表示出來，進而分析可得最小值及此時t的值，進而可求得PQ的長．
（4）分別利用當△AOD∽△OQP與當△AOD∽△OPQ，得出對應邊比值相等，進而求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+3

3

（a≠0）經過點A（-2，0），
∴0=9a+3

3

，
∴a=-

3

3

，
∴y=-

3

3

（x-1）²+3

3

；

（2））①∵D為拋物線的頂點，
∴D（1，3

3

），
過D作DN⊥OB于N，則DN=3

3

，AN=3，
∴AD=

32+(3 3 )2

=6，
∴∠DAO=60°．
∵OM∥AD，
①當AD=OP時，四邊形DAOP是平行四邊形，
∴OP=6，
∴t=6．
②當DP⊥OM時，四邊形DAOP是直角梯形，
過O作OH⊥AD于H，AO=2，則AH=1（如果沒求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5，
③當PD=OA時，四邊形DAOP是等腰梯形，
易證：△AOH≌△CDP，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4．
綜上所述：當t=6、5、4時，對應四邊形分別是平行四邊形、直角梯形、等腰梯形；

（3）∵D為拋物線的頂點坐標為：D（1，3

3

），
過D作DN⊥OB于N，則DN=3

3

，AN=3，
∴AD=

32+(3 3 )2

=6，
∴∠DAO=60°，
∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等邊三角形．
則OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）
過P作PE⊥OQ于E，則PE=

3

2

t，
∴S_BCPQ=

1

2

×6×3

3

-

1

2

×（6-2t）×

3

2

t，
=

3

2

(t-

3

2

)2+

63

8

3

，
當t=

3

2

時，S_BCPQ的面積最小值為

63

8

3

，

（4）當△AOD∽△OQP，
則

AO

QO

=

AD

OP

，
∵AO=2，AD=6，QO=6-2t，OP=t，
∴

2

6-2t

=

6

t

，
解得：t=

18

7

，
當△AOD∽△OPQ，
則

AO

OP

=

AD

QO

，
即

2

t

=

6

6-2t

，
解得：t=

6

5

，
故t=

6

5

或

18

7

時以O，P，Q為頂點的三角形與△OAD相似．

點評：本題考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質、平行四邊形、直角梯形、等腰梯形的判定等知識，將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題是考查重點．