Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面積是54．求證：AC⊥BD．

 

 

Answer 1

【答案】

證明見解析.

【解析】

試題分析：由AD∥BC，可證明△EAD∽△ECB，利用相似三角形的性質即可求出BE的長，過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，所以CF=AD，再根據勾股定理的逆定理證明BD⊥DF即可證明AC⊥BD.

試題解析：∵AD∥BC，∴△EAD∽△ECB. ∴AE：CE=DE：BE.

∵AE=4，CE=8，DE=3，∴BE=6.

∵S_梯形=（AD+BC）×=54，∴AD+BC=15.

過D作DF∥AC交BC延長線于F，則四邊形ACFD是平行四邊形，

∴CF=AD. ∴BF=AD+BC=15.

在△BDF中，BD²+DF²=9²+12²=225，BF²=225，∴BD²+DF²=BF². ∴BD⊥DF.

∵AC∥DF，∴AC⊥BD.

考點：1.梯形的性質；2.相似三角形的判定和性質；3.平行四邊形的判定和性質；4.勾股定理的逆定理.