Question

如圖，正方形ABCD邊長為10cm，P、Q分別是BC、CD上的兩個動點，當P點在BC上運動時，且AP⊥PQ．
（1）求證：△ABP∽△PCQ；
（2）當BP等于多少時，四邊形ABCQ的面積為62cm²．

Answer 1

分析：（1）在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，再由∠BAP+∠APB=∠APB+∠PQC=90°，從而得出∠BAP=∠PQC，則△ABP∽△PCQ；
（2）設(shè)BP=x．根據(jù)△ABP∽△PCQ，得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD=10，∠B=∠C=90°，
∵AP⊥PQ，
∴∠APQ=90°，
∴∠APB+∠CPQ=90°．
在Rt△ABP中，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPQ．
∴△ABP∽△PCQ．

（2）解法1：設(shè)BP=x．
∵△ABP∽△PCQ，
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，
∴

x

CQ

=

10

10-x

，
∴CQ=

-x2+10x

10

，
∴

1

2

•(

-x2+10x

10

+10)•10=62，
整理，得x²-10x+24=0，
解得x₁=4，x₂=6．
∴當BP等于4cm或6cm時，四邊形ABCQ的面積為62cm²．
解法2：設(shè)BP=x．
∵S_Rt△ADQ=S_{正方形ABCD}-S_{四邊形ABCQ}=100-62=38．
∴

1

2

AD•DQ=38，
∴DQ=

38

5

，
∴QC=CD-DQ=10-

38

5

=

12

5

．
∵△ABP∽△PCQ，
∴

BP

CQ

=

AB

PC

，

x

12 5

=

10

10-x

，
整理，得x²-10x+24=0．
解得x₁=4，x₂=6．
∴當BP等于4cm或6cm時，四邊形ABCQ的面積為62cm²．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似，這是證明兩個三角形相似常用的方法．