Question

【題目】如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，.

（1）若直線經過、兩點，求直線和拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點，使點到點的距離與到點的距離之和最小，求出點的坐標；

（3）設點為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為.（2）；（3）的坐標為或或或.

【解析】

（1）先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；

（2）設直線BC與對稱軸x=-1的交點為M，此時MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；

（3）設P（-1，t），又因為B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標．

（1）依題意得：，解得：，

∴拋物線的解析式為.

∵對稱軸為，且拋物線經過，

∴把、分別代入直線，

得，解之得：，

∴直線的解析式為.

（2）直線與對稱軸的交點為，則此時的值最小，把代入直線得，

∴.即當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為.

（注：本題只求坐標沒說要求證明為何此時的值最小，所以答案未證明的值最小的原因）.

（3）設，又，，

∴，，，

①若點為直角頂點，則，即：解得：，

②若點為直角頂點，則，即：解得：，

③若點為直角頂點，則，即：解得：

，.

綜上所述的坐標為或或或.