Question

【題目】如圖1，已知線段BC=2，點B關于直線AC的對稱點是點D，點E為射線CA上一點，且ED=BD，連接DE，BE.

（1）依據題意補全圖1，并證明：△BDE為等邊三角形；

（2）若∠ACB=45°,點C關于直線BD的對稱點為點F，連接FD、FB，將△CDE繞點D順時針旋轉度（0°<<360°）得, 點E的對應點為E’,點C的對應點為點C’.

(i)如圖2，當時 ，連接BC’.證明：EF=BC’；

（ii）如圖3，點M為DC中點，點P為線段C’E’上任意一點，試探究：在此旋轉過程中，線段PM長度的取值范圍？（直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) (i)見解析；（ii）1≤PM≤2+1.

【解析】

（1）根據題畫圖，易證AC是BD的垂直平分線，得到ED=EB=BD，即可證明△BDE為等邊三角形；

（2）①易證∠EDB=∠FDC′=60°，∠EDF=BDC′，又DE=DB，DF=DC′于是△EDF≌△DBC′，得出結論；

②當E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共線時，PM有最小值．當點P與點E′重合，且P、D、M、C共線時，PM有最大值．

（1）補全圖形，如圖1所示；

證明：由題意可知：射線CA垂直平分BD，

∴EB=ED，又∵ED=BD，

∴EB=ED=BD，∴△EBD是等邊三角形；

（2）(i)證明：如圖2：由題意可知∠BCD=90°，BC=DC

又∵點C與點F關于BD對稱，∴四邊形BCDF為正方形，

∴∠FDC=90°，CD=FD，

∵∠CDC′=α=30°，∴∠FDC′=60°，

由（1）△BDE為等邊三角形，

∴∠EDB=∠FDC′=60°，ED=BD，

∴∠EDF=∠BDC′，

又∵△E′DC′是由△EDC旋轉得到的，

∴C′D=CD=FD，

∴△EDF≌△DBC′（SAS），

∴EF=BC′；

（ii）線段PM的取值范圍是：1≤PM≤2+1．設射線CA交BD于點O，

I：如圖3（1）

當E′C′⊥DC，MP⊥E′C′，D、M、P、C共線時，PM有最小值．

此時DP=DO=，DM=1，

∴PM=DP-DM=1，

II：如圖3（2），

當點P與點E′重合，且P、D、M、C共線時，

PM有最大值．

此時DP=DE′=DE=DB=2，DM=1，

∴PM=DP+DM=2+1，

∴線段PM的取值范圍是：1≤PM≤2+1.