Question

設α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個實根，當m為何值時，α²+β²有最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：由已知中α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個實根，則首先應判斷△≥0，即方程有兩個實數根，然后根據韋達定理（一元二次方程根與系數）的關系，給出α²+β²的表達式，然后根據二次函數的性質，即可得到出m為何值時，α²+β²有最小值，進而得到這個最小值．
解答：解：若α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個實根
則△=16m²-16（m+2）≥0，即m≤-1，或m≥2
則α+β=m，α×β=，
則α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2×=m²-m-1=（m-）²-
∴當m=-1時，α²+β²有最小值，最小值是．
點評：本題考查的知識點是一元二次方程根的分布與系數的關系，一次函數的性質，其中易忽略，方程有兩個根時△≥0的限制，直接利用韋達定理和二次函數的性質求解，而錯解為當x=時，最小值為-．