Question

如圖所示，已知拋物線的對稱軸為直線x=4，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A、C坐標為（2，0）、（0，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）拋物線上有一點P，使以PC為直徑的圓過B點，求P的坐標；
（3）在滿足（2）的條件下，x軸上是否存在點E，使得△COE與△PBC相似？若存在，求出E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式是y=a（x-4）²+b，
根據題意得：，
解得：，
則函數的解析式是：y=x²-2x+3；

（2）設點B坐標為B（a，0），則=4（拋物線對稱軸的表示），
解得a=6，
∴點B（6，0），
又∵點C坐標為C（0，3），PC為直徑的圓過B點，
∴過P作PE⊥x軸，則△PBE∽△BCO，

∴===2，
∴設點P的坐標為（m，n），
則n=2（m-6）①，
又點P在拋物線上，
∴n=m²-2m+3②，
①②聯立解得m₁=10，m₂=6（舍去），
∴n=2（10-6）=8，
∴點P的坐標為P（10，8）；

（3）∵PE⊥x軸，
∴在Rt△PBE中，PB=4，
在Rt△OBC中，BC==3，
設點E坐標為（x，0），
∵△COE與△PBC相似，
∴①若CO與PB是對應邊，則=，
解得|x|=，
∴x=±，
②若CO與BC是對應邊，則=，
解得|x|=4，
∴x=±4，
∴在x軸上存在點E，使得△COE與△PBC相似，點E坐標為E（±，0），E（±4，0）．
分析：（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）以PC為直徑，根據直徑所對的圓周角是直角可得PB⊥BC，然后求出點B的坐標為（6，0），過點P作PE⊥x軸，則△PBE與△BCO相似，根據相似三角形的對應邊成比例得出PE與BE的關系，然后設出點P的坐標為（m，n），利用邊的關系整理，然后再代入拋物線解析式求解即可得到點P的坐標；
（3）先利用勾股定理求出PB、CB的長度，再根據對應邊不同分兩種情況利用相似三角形對應邊成比例列比例式計算．
點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，圓的直徑所對圓周角是直角的性質，函數圖象交點的求法，以及相似三角形對應邊成比例的性質，（3）中注意要根據對應邊的不同進行分情況討論，避免漏解．