Question

已知拋物線經過及原點．

1.求拋物線的解析式．

2.過點作平行于軸的直線交軸于點，在拋物線對稱軸右側且位于直線下方的拋物線上，任取一點，過點作直線平行于軸交軸于點，交直線于點，直線與直線及兩坐標軸圍成矩形（如圖）．是否存在點，使得與相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由

3.如果符合（2）中的點在軸的上方，連結，矩形內的四個三角形之間存在怎樣的關系？為什么？

 

Answer 1

 

1.由已知可求得：拋物線的解析式為：

2.存在．設點的坐標為，則，要使，則有，即，解之得，．

當時，，即為點，所以得

要使，則有，即

解之得，，當時，即為點，

當時，，所以得．故存在兩個點使得與相似．點的坐標為．（10分）

3.在中，因為．所以．

當點的坐標為時，．

所以．

因此，都是直角三角形．

又在中，因為．所以．

即有．

所以，又因為

，所以．（14分）

解析:（1）將已知的三點坐標代入拋物線解析式中進行求解即可．

（2）可根據拋物線的解析式設出Q點的坐標，要使△OPC與△PQB相似，可分兩種情況：

①△OCP∽△PBQ，此時∠COP=∠BPQ，，用Q點的坐標表示出BP、BQ的長，根據線段的比例關系式即可求出Q點的坐標．

②△OCP∽△QPB，此時∠CPO=∠BPQ，，方法同①

（3）根據（2）得出的Q點的坐標進行判斷即可，注意運用正方形的性質和一些特殊角．