Question

在平面直角坐標系中，點A坐標為（1，1），過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，△AOB繞點O逆時針方向旋轉90°，得到△MON（如圖所示），若二次函數的圖象經過點A、M、O三點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）如果把這個二次函數圖象向右平移2個單位，得到新的二次函數圖象與y軸的交點為C，求tan∠ACO的值；
（3）在（2）的條件下，設新的二次函數圖象的對稱軸與x軸的交點為D，點E在這條對稱軸上，如果△BCO與以點B、D、E所組成的三角形相似（相似比不為1），求點E的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先得出M點的坐標，再設出二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，把A、M、O三點代入即可求出解析式．
（2）本題先得出圖象向右平移2個單位的解析式，從而得出與y軸的交點坐標，再連接AN，即可求出tan∠ACO的值．
（3）本題需先分根據（2）的解析式得出對稱軸為直線x=2，得出D點的坐標，再設出點E的坐標，這時再分兩種情況進行討論，當點E在x軸的上方時，得出，即可求出點E的坐標，當點E在x軸的下方時，同理可得出點E的坐標．
解答：解：（1）由旋轉可知：點M的坐標為（-1，1），
設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c
∵二次函數的圖象經過點A、M、O三點，點A坐標為（1，1），
∴
∴
∴這個二次函數的解析式為y=x²．

（2）將這個二次函數圖象向右平移2個單位，
得到新的二次函數的解析式為y=（x-2）²．
∴二次函數y=（x-2）²的圖象與y軸的交點為C為（0，4），
由旋轉可知：點N的坐標為（0，1），連接AN．
在Rt△ANC中，AN=1，CN=3，
∴．

（3）由（2）得：新的二次函數y=（x-2）²圖象的對稱軸為直線x=2．
根據題意：得點D的坐標為（2，0），
可設點E坐標為（2，x），∠BOC=∠BDE=90°．
如果△BCO與以點B、D、E所組成的三角形相似：
①當點E在x軸的上方時，
如果，又BD=BO=1，容易知道△BCO與△BDE全等（舍去），
如果，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，
∴，
∴．
所以點E的坐標為（2，）．
②當點E在x軸的下方時，
同理：可得到E的坐標為（2，-）．
所以：當△BCO與以點B、D、E所組成的三角形相似（相似比不為1）時，
點E的坐標為（2，）或（2，-）．
點評：本題主要考查了二次函數綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和解析式的求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．