Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，點E是線段AB上的動點，連結CE，EF⊥CE交AD于F，連結CF，設BE=x．
（1）當∠BCE=30°時，求△BCE的周長；
（2）當x=5時，求證：CF=AF+BC；
（3）是否存在x，使得CF=（AF+BC）？如果存在，求出x的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角△BCE中利用三角函數即可求得BE，EC的長度，則三角形的周長即可求得；
（2）取FC的中點P，連接E、P，易證EP是直角梯形ABCF的中位線，以及直角三角形的性質，以及梯形的中位線定理即可證得；
（3）取AB的中點Q，連接Q、P，則QP是直角梯形ABCF的中位線，QP=，EP是Rt△EFC斜邊上的中線，EP=，要使得，只需EP=QP，即Rt△PQE是等腰直角三角形，即可表示出FA、AE的長度，然后根據Rt△EBC∽Rt△FAE，相似三角形的對應邊的比相等可以得到關于x的方程，從而求解．
解答：解：（1）如圖：∵∠A=∠B=90°，BC=6，BE=x，∠BCE=30°
∴Rt△EBC中，BE=BCtan30°=2，EC==
∴△BCE的周長=BC+EB+EC=6+6

（2）如圖：取FC的中點P，連接EP，
∵∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，BE=x=5，EF⊥CE，
∴EP是直角梯形ABCF的中位線，EP=
EP也是Rt△EFC斜邊上的中線，EP=
∴EP==，即CF=AF+BC

（3）如圖：取AB的中點Q，連接QP，
∵∠A=∠B=90°，AD=5，AB=10，BC=6，BE=x，EF⊥CE，
∴AE=10-x，QE=|5-x|，∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90°
QP是直角梯形ABCF的中位線，QP=，∠PQE=90°
EP是Rt△EFC斜邊上的中線，EP=
要使得，只需EP=QP，即Rt△PQE是等腰直角三角形，QP=QE=|5-x|
∴AF=2QP-BC=2|5-x|-6
∵∠A=∠B=90°，EF⊥CE，
∴∠AFE+∠AEF=90°，∠BEC+∠AEF=90°
∴∠AFE=∠BEC
∴Rt△EBC∽Rt△FAE
∴，即
當0≤x≤5時，|5-x|=5-x，2|5-x|-6=4-2x，（舍），
當5＜x≤10時，|5-x|=x-5，2|5-x|-6=2x-16，，（舍）
綜上所述：時，
點評：本題是相似三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，梯形的中位線定理的綜合應用，正確作出輔助線是關鍵．