Question

【題目】某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元．

(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤；

(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共50臺，其中A型電腦的進貨量不少于14臺，B型電的進貨量不少于A型電腦的2倍，那么該商店有幾種進貨方案?該商場購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大?

(3)實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調m (0<m<100)元，若商店保持兩種電腦的售價不變，請你根據以上信息及(2)中條件，設計出使這50臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案．

Answer 1

【答案】(1) 每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元；（2）該商店有三種進貨方案；商店購進14臺A型電腦和36臺B型電腦的銷售利潤最大；(3)見解析

【解析】

（1）設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；然后根據銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元列出方程組，然后求解即可；
（2）根據A型電腦的進貨量不少于14臺，B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，列不等式組求出x的取值范圍，再根據總利潤等于兩種電腦的利潤之和列式整理即可得解；然后根據一次函數的增減性求出利潤的最大值即可．

(3) 結合（2）找出y關于x的函數關系式，利用一次函數的性質分m-50＜0、m-50=0和m-50＞0來解決最值問題．

解：（1）設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；
根據題意得：，

解得：．
答：每臺A型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元；
（2）設購進A型電腦x臺，則購進B型電腦（50-x）臺，銷售總利潤為y元

根據題意得，y=100x+150（50-x），
即：y=-50x+7500；

根據題意得，，
解得：，
∵x為正整數，

∴x=14，15，16；

∴該商店有三種進貨方案；

∵y=-50x+7500，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x=14時，y取最大值，則50-x=36，
此時最大利潤是y=-50×14+7500=6800．
即商店購進14臺A型電腦和36臺B型電腦的銷售利潤最大，最大利潤是6800元．

（3）由已知得：y=（100+m）x+150（50-x）=（m-50）x+7500，
當m＜50時，m-50＜0，
則購進14臺A型電腦和36臺B型電腦的銷售利潤最大；
當m=50時，m-50=0，
則A、B兩種電腦隨意搭配（14≤A型電腦數≤16），銷售利潤一樣多；
當m時，m-50＞0，
則購進16臺A型電腦和34臺B型電腦的銷售利潤最大