Question

（2012•惠山區一模）如圖，某汽車的底盤所在直線恰好經過兩輪胎的圓心，兩輪的半徑均為60cm，兩輪胎的圓心距為260cm（即PQ=260cm），前輪圓心P到汽車底盤最前端點M的距離為80cm，現汽車要駛過一個高為80cm的臺階（即OA=80cm），若直接行駛會“碰傷”汽車．
（1）為保證汽車前輪安全通過，小明準備建造一個斜坡AB （如圖所示），那么小明建造的斜坡的坡角α最大為多少度？（精確到0.1度）
（2）在（1）的條件下，汽車能否安全通過此改造后的臺階（即汽車底盤不被臺階刮到）？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）為了保證汽車安全通過的最大坡角，應滿足當輪胎與地面BC、斜坡BA均相切，且汽車底盤前端點M恰在斜坡AB上，在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，根據sin α的值求得α的值即可；
（2）分別求得ON和OC的長，然后比較大小即可確定能否通過．

解答：解：（1）如圖1，為了保證汽車安全通過的最大坡角，應滿足當輪胎與地面BC、斜坡BA均相切，且汽車底盤前端點M恰在斜坡AB上，
在Rt△PHM中，易知PH=60 cm，PM=80 cm，∠PMH=α，
所以sin α=

PH

PM

=

60

80

=

3

4

，
所以α≈48.5°（此處應采用去尾法進行近似）  （3分） 
（2）∵

320

3

＜260
∴當前輪安全通過臺階時，后輪仍在平地上
在Rt△AOB中，AB=AO÷sin α=

4

3

×80=

320

3

，
∴OB=

( 320 3 )2-6400

=

80 7

3

；
∴BN=BH=BM-MH=80-20

7

∴ON=80+

20 7

3

如圖2，假設底盤與點A相碰，
∵△QAF∽△QPE
∴

QA

PQ

=

AF

PE

，∴QA=65，
∴OC=FQ=

652-202

=15

17

．
∵15

17

＜80+

20 7

3

∴此車可以安全通過．   （8分）

點評：本題考查了坡度坡角問題，解決此類問題的關鍵是從復雜的實際問題中整理出直角三角形并求解．