Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線l：沿x軸翻折后，與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線與y軸交于點D，與直線AB交于點E、點F（點F在點E的右側）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若線段DF∥x軸，求拋物線的解析式；
（3）如圖2，在（2）的條件下，過F作FH⊥x軸于點G，與直線l交于點H，在拋物線上是否存在P、Q兩點（點P在點Q的上方），PQ與AF交于點M，與FH交于點N，使得直線PQ既平分△AFH的周長，又平分△AFH面積，如果存在，求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，先求出直線 與x軸、y軸交點坐標，根據沿x軸翻折，得到A、B的坐標，把A、B的坐標代入直線AB的解析式y=kx+b，即可求出直線AB的解析式；
（2）設拋物線的頂點為P（h，0），得出拋物線解析式為：=，根據DF∥x軸，得出F的坐標，把F的坐標代入直線AB的解析式即可求出h的值，即可得到答案；
（3）過M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，設FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根據三角形的面積公式求出△MNF和△AFH的面積，根據之間的等量關系即可求出k的值，設直線MN的解析式為：y=kx+b，
把M（， ）、N（6，-4），代入得到方程組，求出方程組的解即可得到直線MN的解析式，解由方程y=-x+4和y=x²-4x+6的解即可得出P、Q的坐標．
解答：（1）解：設直線AB的解析式為y=kx+b
直線 與x軸、y軸交點分別為（-2，0），（0， ），
沿x軸翻折，
∵直線，
直線AB與x軸交于同一點（-2，0）
∴A（-2，0）．與y軸的交點（0， ）與點B關于x軸對稱
∴B（0， ），
∴
解得，，
∴直線AB的解析式為 ．
答：直線AB的解析式為 ．

（2）解：設拋物線的頂點為Q（h，0），
拋物線解析式為：=，
∴D（0， ）．
∵DF∥x軸，
∴點F（2h， ），
又點F在直線AB上，∴，
解得 h₁=3，（舍去），
∴拋物線的解析式為，
答：拋物線的解析式為y=x²-4x+6．

（3）解：過M作MT⊥FH于T，
∴Rt△MTF∽Rt△AGF．
∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
設FT=3k，TM=4k，FM=5k，
則FN=-FM=16-5k，
∴，
∵=48，
又∵．
∴，
解得 或k=2 （舍去），
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，
∴M（， ）、N（6，-4），
∴設直線MN的解析式為：y=kx+b，
把M（， ）、N（6，-4），代入得：=k+b且-4=6k+b，
解得：k=-，b=4，
∴，
聯立 與，
求得P（1， ），Q（3，0）．
答：存在P的坐標是（1，），Q的坐標是（3，0）．
點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，解二元一次方程組、解二元二次方程組，三角形相似的性質和判定，圖形的旋轉等知識點，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．