Question

如圖，正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E、F，使DE=AD，DF=BD；BF分別交CD，CE于H、G點，連接DG，下列結論：①∠GDH=∠GHD；②△GDH為正三角形；③EG=CH；④EC=2DG；⑤S_△CGH：S_△DBH=1：2．其中正確的是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、③④⑤
• D、①③⑤

Answer 1

分析：本題為選擇題，做選擇題是要有技巧，像排除法，假設法都可以用，先看選項因為都有③選項故③可作為已知條件求解，
△DHB∽△CHG根據面積比等于相似比的平方可得S_△CGH：S_△DBH=1：2故選項有⑤，
然后再看①④中間哪個正確，先看①過G作GO⊥CD于O，設正方形邊長為1，則

DH

HC

=

DF

BC

=

2

，可求得CH=

1

2 +1

，

DO

OC

=

EG

GC

=

FG

GB

=

EF

BC

=

2 -1

1

所以OC=

2

2

，OD=1-

2

2

，又

DH

HC

=

DF

BC

=

2

1

所以DH=

2

1+ 2

，DO=DH-OH=1-

2

2

，可得DO=OH，△DGH為等腰三角形，∠GDH=∠GHD，①正確．

解答：解：（1）∵選項都有③，故可確定EG=CH．

（2）由題意可得四邊形BCED為平行四邊形，進而推出△DHB∽△CHG，

CH

HD

=

BC

DF

=

1

2

，
∵面積比等于相似比的平方
∴S_△CGH：S_△DBH=1：2．

（3）先看①設正方形邊長為1．則

DH

HC

=

DF

BC

=

2

可求得CH=

1

2 +1

，

DO

OC

=

EG

GC

=

FG

GB

=

EF

BC

=

2 -1

1

所以OD=1-

2

2

，又

DH

HC

=

DF

BC

=

2

1

∴DH=

2

1+ 2

．DO=DH-OH=1-

2

2

∴可得DO=OH，△DGH為等腰三角形，即得∠GDH=∠GHD，①正確
故選D．

點評：本題考查的知識點比較多，正方形四邊相等的性質及等腰三角形兩底角相等的性質，面積比等于相似比的平方，相似三角形的比例關系要熟練掌握，另外還要掌握做選擇題的一些方法，可是選擇題的解答即快又準．