Question

如圖，四邊形ABCD的內角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點E，∠ABC、∠BCD的角平分線交于點F．

（1）若∠F=80，則∠ABC+∠BCD=　 　；∠E=　 　；

（2）探索∠E與∠F有怎樣的數量關系，并說明理由；

（3）給四邊形ABCD添加一個條件，使得∠E=∠F所添加的條件為　 　．

Answer 1

【考點】多邊形內角與外角；三角形內角和定理．

【分析】（1）先根據三角形內角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°，再由角平分線定義得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；由四邊形ABCD的內角和為360°，得出∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．由角平分線定義得出∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，然后根據三角形內角和定理求出∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；

（2）由四邊形ABCD的內角和為360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分線定義得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根據三角形內角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根據三角形內角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分線定義得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．

【解答】解：（1）∵∠F=80，

∴∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°．

∵∠ABC、∠BCD的角平分線交于點F，

∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，

∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；

∵四邊形ABCD的內角和為360°，

∴∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．

∵四邊形ABCD的內角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點E，

∴∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，

∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，

∴∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；

 

 

（2）∠E+∠F=180°．理由如下：

∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，

∵四邊形ABCD的內角∠BAD、∠CDA的角平分線交于點E，∠ABC、∠BCD的角平分線交于點F，

∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，

∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，

∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，

∴∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

 

（3）AB∥CD．

故答案為200°；100°；AB∥CD．

【點評】本題考查了三角形、四邊形內角和定理，角平分線定義，平行線的判定，等式的性質，利用數形結合，理清角度之間的關系是解題的關鍵．