Question

（2011•福州）已知，如圖，二次函數y=ax²+2ax﹣3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A、B兩點（B在A點右側），點H、B關于直線l：對稱．
（1）求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；
（2）求二次函數解析式；
（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于K點，M、N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

Answer 1

解：（1）依題意，得ax²+2ax﹣3a=0（a≠0），
解得x₁=﹣3，x₂=1，
∵B點在A點右側，
∴A點坐標為（﹣3，0），B點坐標為（1，0），
答：A、B兩點坐標分別是（﹣3，0），（1，0）．
證明：∵直線l：，
當x=﹣3時，，
∴點A在直線l上．
（2）解：∵點H、B關于過A點的直線l：對稱，
∴AH=AB=4，
過頂點H作HC⊥AB交AB于C點，
則，，
∴頂點，
代入二次函數解析式，解得，
∴二次函數解析式為，
答：二次函數解析式為．
（3）解：直線AH的解析式為，
直線BK的解析式為，
由，
解得，
即，
則BK=4，
∵點H、B關于直線AK對稱，
∴HN+MN的最小值是MB，，
過點K作直線AH的對稱點Q，連接QK，交直線AH于E，
則QM=MK，，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的長是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值為8，
答HN+NM+MK和的最小值是8．

解析