Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90⁰，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA、OB的中點分別為點E、F
【小題1】求證：
【小題2】求的值（3分）
【小題3】若直線EF與線段AD、BC分別相交于點G、H，求的值（3分）

Answer 1

【小題1】證明：∵EF是△OAB的中位線，
∴EF∥AB，EF=AB，
而CD∥AB，CD=AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
∴△FOE≌△DOC；（3分）
【小題2】解：∵在Rt△ABC中，AC===BC，
∴sin∠OEF=sin∠CAB===；（3分）
【小題3】解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，
∴△AEG∽△ACD，
∴==，即EG=CD，
同理FH=CD，
∴==．（3分）
解析:
（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行線的性質(zhì)可證△FOE≌△DOC；
（2）由平行線的性質(zhì)可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC與BC的關系，再求正弦值；
（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．