Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．
（1）求證：BE=CE；
（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設(shè)其它條件不變．求證：AE=2BD．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD垂直平分BC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=CE；
（2）判斷出△ABF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AF=BF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CBF=∠AEF，然后利用“角邊角”證明△AEF和△BCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BC，從而得證．

解答：證明：（1）∵AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∵AD垂直平分BC，
∴∠EAF+∠C=90°，BC=2BD，
∴∠CBF=∠EAF，
在△AEF和△BCF中，

∠CBF=∠EAF AF=BF ∠AFE=∠BFC

，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=2BD．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．