Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+mx+（m-1）與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，與y軸交于點C（0，c），且滿足x12+x22+x1x2=7．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上能不能找到一點P，使∠POC=∠PCO？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）能，點P的坐標是（，-），（，-）

【解析】

試題分析：（1）利用根與系數的關系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根與系數的關系，得x1+x2=-m，x1x2=m-1．代入等式，即可求得m的值，從而求得解析式．

（2）根據線段的垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，求得P點的縱坐標，代入拋物線的解析式即可求得．

試題解析：（1）依題意：x1+x2=-m，x1x2=m-1，

∵x12+x22+x1x2=7，

∴（x1+x2）2-x1x2=7，

∴（-m）2-（m-1）=7，

即m2-m-6=0，

解得m1=-2，m2=3，

∵c=m-1＜0，∴m=3不合題意

∴m=-2

拋物線的解析式是y=x2-2x-3；

（2）能

如圖，設P是拋物線上的一點，連接PO，PC，過點P作y軸的垂線，垂足為D．

若∠POC=∠PCO

則PD應是線段OC的垂直平分線

∵C的坐標為（0，-3）

∴D的坐標為（0，-）

∴P的縱坐標應是-

令x2-2x-3=-，解得，x1=，x2=

因此所求點P的坐標是（，-），（，-）