Question

在△ABC中，M是BC中點，AN平分∠BAC，AN⊥BN于N，AB，AC，MN之間的數量關系為

MN=

1

2

（AC-AB）

．

Answer 1

分析：首先證明△ABN≌△AEN，可得AE=AB，BN=NE，再由條件M是BC中點，可知MN是△BEC的中位線，可得MN=

1

2

EC，再有EC=AC-AE，AE=AB，可得MN=

1

2

（AC-AB）．

解答：解：延長線段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
∵AN⊥BN，
∴∠ANE=∠ANB=90°，
在△ANB和△ANE中

∠NAE=∠NAB AN=AN ∠ANB=∠ANE=90°

，
∴△ABN≌△AEN（ASA），
∴AE=AB，BN=NE，
又∵M是△ABC的邊BC的中點，
∴MN=

1

2

CE，
∴MN=

1

2

（AC-AE）=

1

2

（AC-AB），
故答案為：MN=

1

2

（AC-AB）．

點評：此題主要考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定，關鍵是證出△ABN≌△AEN，得到AE=AB，BN=NE，熟記三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．