Question

已知拋物線y=2x²-2（m-1）x-m．
（1）求證：無論m為任何實數，此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸交于點A（x₁，0）、點B（x₂，0），且x₁＜0＜x₂．
①當OA+OB=2時，求此拋物線的解析式；
②若拋物線與y軸交于點C，是否存在這樣的拋物線，使△ABC為直角三角形；若存在，求出拋物線的解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵和拋物線y=2x²-2（m-1）x-m對應的一元二次方程為2x²-2（m-1）x-m=0，
∵△=4（m-1）²+8m=4m²+4，
∵m²≥0，
∴4m²+4＞0，
∴△＞0，
∴方程2x²-2（m-1）x-m=0必有兩個不相等的實數根，
∴無論m為任何實數，此拋物線與x軸總有兩個交點．

（2）由題意可知x₁，x₂是方程x²-4x+3（m-1）=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-，
①∵x₁＜0＜x₂，
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA+OB=-x₁+x₂，
∴-x₁+x₂=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴（m-1）²-4×（-）=4，
解得：m=±，
∵x₁•x₂＜0，
∴m＞0，
∴m=，
∴所求拋物線的解析式為y=2x²-2（-1）x-，
②設存在這樣的拋物線，使△ABC為直角三角形，
∵點A、B分別在原點的兩側，點C（0，-m），
∴只可能有∠ACB=90°，
又∵點A（x₁，0）、點B（x₂，0），且AC²+BC²=AB²，
∴x₁²+m²+x₂²+m²=（x₂-x₁）²，
∴m²=，
解得m=0或m=
但m=0不合題意，舍去，
∴m=，
∴y=2x²+x-，
∴存在拋物線y=2x²+x-，使△ABC為直角三角形
分析：（1）首先由和拋物線y=2x²-2（m-1）x-m對應的一元二次方程為2x²-2（m-1）x-m=0，根據判別式△，即可確定方程2x²-2（m-1）x-m=0必有兩個不相等的實數根，則可得無論m為任何實數，此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）①由題意可知x₁，x₂是方程x²-4x+3（m-1）=0的兩個實數根，根據根與系數的關系可得x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-，又由OA+OB=-x₁+x₂，可得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即可求得m的值，求得此拋物線的解析式；
②設存在這樣的拋物線，使△ABC為直角三角形，由點A、B分別在原點的兩側，點C（0，-m），可得只可能有∠ACB=90°，又由點A（x₁，0）、點B（x₂，0），且AC²+BC²=AB²，即可求得存在拋物線y=2x²+x-，使△ABC為直角三角形．
點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的聯系，根與系數的關系，判別式的應用，以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是要注意方程思想與數形結合思想的應用．