Question

【題目】如圖①，在△ABC中，∠B＝∠C，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連結DE．

（1）若∠BAC＝100°，∠DAE＝40°，則∠CDE＝　 　，此時＝　 　；

（2）若點D在BC邊上（點B、C除外）運動，試探究∠BAD與∠CDE的數量關系并說明理由；

（3）若點D在線段BC的延長線上，點E在線段AC的延長線上（如圖②），其余條件不變，請直接寫出∠BAD與∠CDE的數量關系：　 　；

（4）若點D在線段CB的延長線上（如圖③）、點E在直線AC上，∠BAD＝26°，其余條件不變，則∠CDE＝　 　°（友情提醒：可利用圖③畫圖分析）

Answer 1

【答案】（1）30°，2；（2）∠BAD＝2∠CDE；理由見解析；（3）∠BAD＝2∠CDE　；（4）∠CDE＝13或77°

【解析】

（1）根據三角形內角和與三角形外角的性質可得結論；

（2）設∠DAE＝x，∠BAC＝y，同理可得∠BAD與∠CDE的數量關系；

（3）設∠DAE＝x，∠BAC＝y，同理可得∠BAD與∠CDE的數量關系；

（4）分兩種情況討論，同理可計算∠CDE的度數．

解：（1）如圖，

∵∠DAE＝40°，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝70°，

∵∠BAC＝100°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣40°＝60°，

∵∠B＝∠C＝40°，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+60°＝100°，

∴∠CDE＝30°，

∴＝2，

故答案為：30°，2；

（2）如圖，∠BAD與∠CDE的數量關系是：∠BAD＝2∠CDE；

理由是：設∠DAE＝x，∠BAC＝y，則∠BAD＝y﹣x，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝，

∵∠B＝∠C＝，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝+y﹣x＝90°+y﹣x，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°+y﹣x﹣＝，

∴∠BAD＝2∠CDE；

（3）如圖，∠BAD與∠CDE的數量關系：∠BAD＝2∠CDE，

理由是：設∠DAE＝x，∠BAC＝y，則∠BAD＝x+y，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝∠E＝，

∵∠B＝，

∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠E+∠CDE，

∴+y＝+∠CDE，

∴∠CDE＝（x+y），

∴∠BAD＝2∠CDE；

故答案為：∠BAD＝2∠CDE；

（4）分兩種情況：

①當E在射線CA上時，如圖所示，

設∠DAE＝x，∠BAC＝y，則x+y＝180°﹣26°＝154°，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠AED＝，

∵∠C＝，

△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠AED﹣∠C＝180°﹣﹣＝（x+y）＝＝77°

②當E在射線AC上時，如圖所示，

設∠DAE＝x，∠BAC＝y，則x﹣y＝26°，

∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，

∴∠AED＝，

∵∠ACB＝，

△CDE中，∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝﹣＝（x﹣y）＝＝13°，

綜上，∠CDE＝13°或77°；

故答案為：13或77．