Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC在第一象限內，E是邊OB上的動點（不包括端點），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分線BF于點F，設C（m，n）．
（1）若m=n時，如圖，求證：EF=AE；
（2）若m≠n時，如圖，試問邊OB上是否還存在點E，使得EF=AE？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若m=tn（t＞1）時，試探究點E在邊OB的何處時，使得EF=（t+1）AE成立？并求出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據m=n，我們可得出四邊形AOBC應該是個正方形．要證EF=AE，可通過構建全等三角形來實現，在OA上取點C，使AG=BE，則OG=OE．那么我們的目的就是證三角形ABE和EBF全等，這兩個三角形中已知的條件只有AG=BE，我們發現∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么這兩組對應角就相等，構成了三角形全等的條件，于是EF=AE了．
（2）可用反證法來求解，方法同（1）類似，也是通過構建全等三角形來求解．作FH⊥x軸于H，假設題目給出的條件成立，通過證明三角形AOE和EHF全等來得出線段相等，即AO=EH，OE=FH，根據FBH=45°，設E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不難得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根據AO=EH，m=n，因此不存在點E．
（3）可根據相似三角形來得出線段之間的比例關系來求得．輔助線作法同（2），我們不難證得三角形AOE和FEH相似（根據同角的余角相等和一組直角即可得出相似），那么就能將EF=（t+1）AE轉換為FH=（t+1）OE，根據相似我們還可得出關于AO、EH、OE、FH的比例關系，那么就能得出一個關于OE、FH、m、n的關系式，將這式子進行化簡，即可得出OE與m、n的關系，便能求出E的坐標了．

解答：解：
（1）由題意得m=n時，AOBC是正方形．
如圖，在OA上取點G，使AG=BE，
∵正方形OACB，OA=OB，
∴OG=OE．
∴∠EGO=∠GEO=

1

2

（180°-90°）=45°，從而∠AGE=90°+45°=135°．
由BF是外角平分線，得∠EBF=135°，
∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠EAO=∠FEB，
在△AGE和△EBF中
∵

∠EAO=∠FEB BE=AG ∠AGE=∠EBF

∴△AGE≌△EBF，
EF=AE．

（2）假設存在點E，使EF=AE．設E（a，0）．作FH⊥x軸于H，如圖．
由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴點F的縱坐標為a，即FH=a．
由BF是外角平分線，知∠FBH=45°，
∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB-OE=m-a，
∴EH=m-a+a=m．
又EH=OA=n，
∴m=n，這與已知m≠n相矛盾．
因此在邊OB上不存在點E，使EF=AE成立．

（3）如（2）圖，設E（a，0），FH=h，則EH=OH-OE=h+m-a．
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等價于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且

AO

EH

=

OE

FH

，即

n

h+m-a

=

a

h

，
整理得nh=ah+am-a²，
∴h=

am-a2

n-a

=

a(m-a)

n-a

．
把h=（t+1）a代入得

a(m-a)

n-a

=（t+1）a，
即m-a=（t+1）（n-a）．
而m=tn，因此tn-a=（t+1）（n-a）．
化簡得ta=n，解得a=

n

t

．
∵t＞1，
∴

n

t

＜n＜m，
故E在OB邊上．
∴當E在OB邊上且離原點距離為

n

t

處時滿足條件，此時E（

n

t

，0）．

點評：本題解題的關鍵是根據全等三角形的判定或相似三角形得出線段相等或成比例．