Question

(本小題滿分9分)
如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，直線BD的函數表達式為，拋物線的對稱軸l與直線BD交于點C、與x軸交于點E．

⑴求A、B、C三個點的坐標．
⑵點P為線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），以點A為圓心、以AP為半徑的圓弧與線段AC交于點M，以點B為圓心、以BP為半徑的圓弧與線段BC交于點N，分別連接AN、BM、MN．
①求證：AN=BM．
②在點P運動的過程中，四邊形AMNB的面積有最大值還是有最小值？并求出該最大值或最小值.

Answer 1

（1）A(－1，0)，B(3，0) C（1，2）
（2）①AN=BM，證明略。
②m=2時，S取得最小值3解析:
解：⑴令，
解得：，              
∴A(－1，0)，B(3，0)    2分
∵=，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，
將x=1代入，得y=2，
∴C（1，2）.    3分
⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
∴∠CAE=60º，
由拋物線的對稱性可知l是線段AB的垂直平分線，
∴AC=BC，
∴△ABC為等邊三角形，      4分
∴AB=" BC" ="AC" = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN = CM，       
∴△ABN≌△BCM，                
∴AN="BM. "       5分
②四邊形AMNB的面積有最小值．      6分
設AP=m，四邊形AMNB的面積為S，
由①可知AB=" BC=" 4，BN = CM=BP，S△ABC=×42=，
∴CM="BN=" BP=4－m，CN=m，             
過M作MF⊥BC,垂足為F,

則MF=MC•sin60º=，
∴S△CMN==•=，   7分
∴S=S△ABC－S△CMN
=－（）
=       8分
∴m=2時，S取得最小值3.     9分