Question

（2012•寶安區二模）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一動點．若BC=6，CE=2DE，則|PC-PA|的最大值是

3

2

．

Answer 1

分析：延長BA交CD的延長線于F，求出BF=BC，EF=CE，求出DF=DE=

1

4

CF，求出PF=PC，根據兩點之間線段最短得出|PC-PA|的最大值是PA，得出P和B重合時，得出最大值是AF的長，根據相似求出AF的值即可．

解答：解：延長BA交CD的延長線于F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CD，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵在△FBE和△CBE中

∠BEF=∠BEC BE=BE ∠FBE=∠CBE

，
∴△FBE≌△CBE（ASA），
∴BF=BC=6，EF=EC，
∵BE⊥CF，
∴PC=PF（線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等），
即|PC-PA|=|PF-PA|，
根據兩點之間線段最短得：|PF-PA|≤AF，
即當|PC-PA|的最大值是AF，
∴當P和B重合時，|PC-PA|=|BC-BA|=AF，
∵EF=CE，CE=2DE，
∴DF=DE=

1

2

CE=

1

4

CF，
∵AD∥BC，
∴△AFD∽△BFC，
∴

AF

BF

=

FD

CF

=

1

4

，
∴AF=

1

4

BC=

1

4

×6=

3

2

，
即|PC-PA|的最大值是

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，線段垂直平分線定理等知識點的應用，關鍵是找出最大值是指哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，但是有一定的難度．