Question

如圖，已知直線y=

x

2

與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2．過原點O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于P，Q兩點（P點在第一象限），若由點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形面積為6，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

分析：易得點A的坐標，把點A的坐標代入雙曲線解析式可得k的值，根據A，B兩點關于原點對稱也就得到了點B的坐標，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得S_△APB=3，根據兩點間的距離公式可得AB的長度，進而得到點P到直線AB的距離，設出點P的坐標根據點到直線的距離公式即可求得點P的坐標．

解答：解：∵直線y=

x

2

與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A，B兩點，且點A的橫坐標為2，
∴點A的縱坐標為1，
∴k=2×1=2，
∵反比例函數的圖象關于原點對稱，
∴點A，B，P，Q為頂點組成的四邊形為平行四邊形，點B的坐標為（-2，-1），
過A作y軸的平行線，過B作x軸的平行線，兩線交于D，
AD=2，BD=4，
∴AB=2

5

，
∵四邊形APBQ面積是6，
∴S_△APB=3，
∴P到AB距離=

3 5

5

，
∵P在雙曲線上，
設P（x，

2

x

），
根據點到直線距離公式，d=

|x- 4 x |

5

=

3 5

5

，
∴x=4或者x=-1（舍去）或者x=-4（舍去）或者x=1；
所以P（4，

1

2

）或者P（1，2）．

點評：本題綜合考查了反比例函數與正比例函數的交點關于原點對稱；反比例函數的比例系數等于在它上面的點的橫縱坐標的積，以及點到直線的距離公式等知識點．