Question

如圖所示，MN是⊙O的切線，B為切點，BC是⊙O的弦且∠CBN=45°，過C的直線與⊙O，MN分別交于A，D兩點，過C作CE⊥BD于點E．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若∠D=30°，BD=2+2，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB、OC，證明OC⊥CE即可．因為MN是⊙O的切線，所以OB⊥MN．因∠CBN=45°可得∠OBC=∠OCB=∠BCE=45°，所以∠OCE=90°，得證；
（2）可證四邊形BOCE為正方形，所以半徑等于CE．
可設半徑為r，在△BCE中表示BE；在△CDE中表示DE，根據BD的長得方程求解．
解答：（1）證明：連接OB、OC．
∵MN是⊙O的切線，
∴OB⊥MN．
∵∠CBN=45°，
∴∠OBC=45°，∠BCE=45°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°．
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，
∴四邊形BOCE是矩形，
又OB=OC，
∴四邊形BOCE是正方形，
∴BE=CE=OB=OC=r．
在Rt△CDE中，
∵∠D=30°，CE=r，
∴DE=r．
∵BD=2+2，
∴r+r=2+2，
∴r=2，即⊙O的半徑為2．
點評：此題考查了切線的判定和解直角三角形，是各地中考常出的題型，難度中等．