Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°．以點C為圓心，AC長為半徑畫弧，點D為圓弧上一點，且∠ACD=90°，過點D作直線BC的垂線DF，垂足為F．求證：AB=CF．

Answer 1

【答案】分析：根據直角三角形的兩銳角互余以及平角等于180°列式求出∠BAC=∠DCF，再根據圓的半徑相等可得AC=CD，然后利用“角邊角”證明△ABC和△CFD全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可證明．
解答：證明：∵在△ABC中，∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∵∠ACD=90°，B、C、F在同一條直線上，
∴∠ACB+∠DCF=90°，
∴∠BAC=∠DCF，
∵A、D兩點都在以點C為圓心，AC長為半徑的圓弧上，
∴AC=CD，
∵DF⊥BC于F，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠ABC=90°，
在△ABC和△CFD中，，
∴△ABC≌△CFD（AAS），
∴AB=CF．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，根據直角三角形的性質以及平角的定義證明得到∠BAC=∠DCF是解題的關鍵，也是本題的難點．