Question

（2013•晉江市）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4

3

．若動點D在線段AC上（不與點A、C重合），過點D作DE⊥AC交AB邊于點E．
（1）當點D運動到線段AC中點時，DE=

3

；
（2）點A關于點D的對稱點為點F，以FC為半徑作⊙C，當DE=

3

2

或

3 3

2

時，⊙C與直線AB相切．

Answer 1

分析：（1）求出BC，AC的值，推出DE為三角形ABC的中位線，求出即可；
（2）求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，證△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4

3

，
∴BC=

1

2

AB=2

3

，AC=6，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D為AC中點，
∴E為AB中點，
∴DE=

1

2

BC=

3

，
故答案為：

3

；

（2）過C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2

3

，AB=4

3

，AC=6，
∴由三角形面積公式得：

1

2

BC•AC=

1

2

AB•CH，
CH=3，
分為兩種情況：①如圖1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F關于D對稱，
∴DF=AD=

3

2

，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

DE

BC

=

AD

AC

，
∴

DE

2 3

=

3 2

6

，
DE=

3

2

；
②如圖2，∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F關于D對稱，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

DE

BC

=

AD

AC

，
∴

DE

2 3

=

4.5

6

，
DE=

3 3

2

；
故答案為：

3

2

或

3

2

3

點評：本題考查了三角形的中位線，含30度角的直角三角形性質，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．