Question

已知：在直角坐標系中，點C的坐標為（0，-2），點A與點B在x軸上，且點A與點B的橫坐標是方程x²-3x-4=0的兩個根，點A在點B的左側．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線的關系式．
（2）如圖，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連接DP交BC于點E．
①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標．
②連接CD、CP，△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過解方程，首先求出A、B兩點的坐標，再利用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）①由于沒有明確等腰△BDE的腰和底，所以要分類進行討論：
Ⅰ、BD為底，此時點P在線段BD的中垂線上，B、D的坐標已知，則E點橫坐標可求，在求出直線BC的解析式后代入其中即可確定點E的坐標；
Ⅱ、DE為底，那么BE=BD=2，在Rt△BOC中，∠DBE的正弦、余弦值不難得出，所以過E作x軸的垂線，在構建的直角三角形中，通過解直角三角形來確定點E的坐標；
Ⅲ、BE為底，解法與Ⅱ類似，唯一不同的是需要過D作BE的垂線，通過構建直角三角形首先求出BE的長．
②△CDP中，線段CD的位置是確定的，所以以CD為底進行討論，欲使△CDP的面積最大，必須令點P到直線CD的距離最長，若做一條與直線CD平行的直線，當該直線與拋物線有且只有一個交點時，這個唯一的交點就是符合條件的P點，理清大致思路后，具體的解法便不難得出：首先求出直線CD的解析式，然后過P作直線l∥直線CD，且點P為直線l與拋物線的唯一交點，由于直線l、CD平行，所以它們的斜率相同，聯立拋物線的解析式后即可求出交點P的坐標，然后過P作x軸的垂線，通過圖形間的面積和差關系求出△CDP的面積最大值．
解答：解：（1）解方程x²-3x-4=0，得：x₁=-1、x₂=4，則 A（-1，0）、B（4，0）；
依題意，設拋物線的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0+1）（0-4）=-2，
解得：a=
故拋物線的解析式：y=（x+1）（x-4）=x²-x-2．

（2）①分三種情況討論：
Ⅰ、當DE=BE時（如圖①-Ⅰ），點E在線段BD的中垂線上，則E點橫坐標為3；
由C（0，-2）、B（4，0）得，直線BC：y=x-2；
當x=3時，y=x-2=-，即 E（3，-）；
Ⅱ、當BE=BD時（如圖①-Ⅱ），BE=BD=2；
在Rt△OBC中，sin∠DBE=，cos∠DBE=；
過E作EF⊥x軸于點F，則有：
在Rt△BEF中，EF=BE•sin∠DBE=2•=，BF=BE•cos∠DBE=，
則OF=OB-BF=4-，即 E（4-，-）；
Ⅲ、當BD=DE時（如圖①-Ⅲ），DE=BD=2；
過D作DH⊥BC于H，過E作EG⊥x軸于G，則有：
在Rt△BDH中，同Ⅱ可求得BH=，則 BE=2BH=；
在Rt△BEG中，EG=BE•sin∠DBE=•=，BG=BE•cos∠DBE=，
則OG=OB-BG=，即 E（，-）；
綜上，當BE=DE時，E（3，-）；當BE=BD時，E（4-，-）；當BD=DE時，E（，-）．

②由C（0，-2）、D（2，0）得，直線CD：y=x-2；
作直線l∥CD，且直線l與拋物線有且只有一個交點P，設直線l：y=x+b，聯立拋物線的解析式：
x+b=x²-x-2，即：x²-x-2-b=0
△=-4××（-2-b）=0，解得 b=-
即，直線l：y=x-；
聯立直線l和拋物線的解析式，得：
，
解得
則P（，-）；
過P作PM⊥x軸于M，如圖（2）②
△CDP的最大面積：Smax=×（2+）×-×2×2-×（-2）×=；
綜上，當P（，-）時，△CDP的面積有最大值，且最大面積為．
點評：此題主要考查的知識點有：一元二次方程的解法、利用待定系數法求函數的解析式、等腰三角形的判定、三角形面積的求法等；（2）的兩個小題較為復雜，在①中，沒有明確等腰三角形的底和腰是容易漏解的地方，這里需要分類討論；在②中，此題所用的解法是平行法，也可直接用面積法來獲取關于S_△CDP和m的函數關系式，但是必須根據P點的不同位置分段進行討論，因為P點的位置直接影響到了面積間的和差關系．