Question

如圖1，在△ABC中，AB邊上高CE與AC邊上高BD相交于H點．若BC=25，BD=20，BE=7．
（1）求DE的長；
（2）如圖2，若以DE為直徑作圓，分別與AC、AB交于G、F，連AH，求證：AH⊥GF．

Answer 1

分析：（1）首先運用勾股定理求得CD，CE的長，再根據相似三角形的性質求得AD的長，從而發現要求的線段就是直角三角形斜邊上的中線；
（2）根據H是高的交點得AH⊥BC，所以只需證明GF∥BC即可．

解答：解：由已知得CD=15，CE=24，
（1）由題設知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故

AD

AE

=

BD

CE

=

AB

AC

…①，
由①有

AD AE = 5 6 AE+7 AD+15 = 5 6

，
∴

AD=15 AE=18

，
∴點D是Rt△AEC的中點，
∴故DE=

1

2

AC=15；

（2）證明：
方法一：由條件知：G、F、E、D；E、D、C、B四點共圓，
則∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：連DF，則DF∥CE，
由（1）知D為AC中點，
∴F為AE中點，
∴AF=9，
∴AG=

54

5

，
∴

AG

AC

=

54 5

30

=

9

25

，
∴

AF

AB

=

9

25

，
∴

AG

AC

=

AF

AB

，
∴GF∥BC，
又∵H為△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．

點評：此題主要考查相似三角形的基本性質和直角三角形的性質，此類題的知識綜合性較強，熟練運用勾股定理以及相似三角形的判定和性質，善于把要證得的結論進行轉換．