Question

如圖，△ABC中，O為AC上的任意一點（不與A、C重合），過點O作直線l∥BC，直線l與∠BCA的平分線相交于點E，與∠DCA的平分線相交于點F．
（1）OE=OF嗎？為什么？
（2）點O在何處時，四邊形AECF為矩形？為什么？
（3）△ABC滿足什么條件時，（2）中的四邊形AECF是正方形？

Answer 1

分析：（1）根據平行線性質和角平分線定義推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根據等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；
（2）根據平行四邊形的判定得出平行四邊形AECF，根據對角線相等的平行四邊形是矩形推出即可；
（3）根據（2）得出四邊形是平行四邊形，也是矩形，只要是得到是菱形的條件就行，即得出對角線互相垂直，由∠AOE=90°和矩形即可得出答案．

解答：（1）解：理由是：∵直線l∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF．

（2）解：O在AC的中點上時，四邊形AECF是矩形，
理由是：∵OA=OC，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵OE=OF=OC=OA，
∴AC=EF，
∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）解：當△ACB滿足∠ACB=90°時，矩形AECF是正方形，
理由是：∵直線l∥BC，
∴∠AOE=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∵四邊形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，正方形的判定，平行線的性質，角平分線定義等知識點的應用，題型較好，綜合性比較強，難度也適中．