Question

若x₁、x₂是關于一元二次方程ax²＋bx＋c(a≠0)的兩個根，則方程的兩個根x₁、x₂和系數a、b、c有如下關系：x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝．把它稱為一元二次方程根與系數關系定理．如果設二次函數y＝ax²＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的兩個交點為A(x₁，0)，B(x₂，0)．利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：

AB＝|x₁－x₂|＝＝＝＝．

參考以上定理和結論，解答下列問題：

設二次函數y＝ax²＋bx＋c(a＞0)的圖象與x軸的兩個交點A(x₁，0)、B(x₂，0)，拋物線的頂點為C，顯然△ABC為等腰三角形．

(1)當△ABC為直角三角形時，求b²－4ac的值；

(2)當△ABC為等邊三角形時，求b²－4ac的值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)當△ABC為直角三角形時，由于AC＝BC，所以△ABC為等腰直角三角形，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE．根據本題定理和結論，得到AB＝，根據頂點坐標公式，得到CE＝||＝，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值； 　　(2)當△ABC為等邊三角形時，解直角△ACE，得CE＝AE＝，據此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值． 　　解答：解：(1)當△ABC為直角三角形時，過C作CE⊥AB于E，則AB＝2CE． 　　∵拋物線與x軸有兩個交點，△＝b2－4ac＞0，則|b2－4ac|＝b2－4ac． 　　∵a＞0，∴AB＝， 　　又∵CE＝||＝， 　　∴， 　　∴， 　　∴， 　　∵b2－4ac＞0， 　　∴b2－4ac＝4； 　　(2)當△ABC為等邊三角形時， 　　由(1)可知CE＝， 　　∴， 　　∵b2－4ac＞0， 　　∴b2－4ac＝12． 　　點評：本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質，拋物線與x軸的交點及根與系數的關系定理，綜合性較強，難度中等．

提示：

考點：拋物線與x軸的交點；根與系數的關系；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質．