Question

19、如圖，正方形ABCD中，E是AD邊上一點，且BE=CE，BE與對角線AC交于點F，連接DF，交EC于點G．
（1）求證：∠ABF=∠ADF；
（2）求證：DF⊥EC．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質及SAS定理可求出△DAF≌△BAF，再根據相似三角形的性質即可解答；
（2）先根據HL定理求出△DAF≌△BAF，∠AEB=∠DEC，再根據（1）的結論可求出∠ADF+∠DEC=90°，即DF⊥EC．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∠BAC=∠DAC，AB=AD，
又∵AF=AF，
∴△DAF≌△BAF，
∴∠ADF=∠ABF；

（2）Rt△ABE和Rt△CDE中，
BE=CE，AB=CD，
Rt△ABE≌Rt△CDE，
∠AEB=∠DEC，
由（1）知，
∠ABE=∠ADF，
∠ABE+∠AEB=90°，
∠ADF+∠DEC=90°，
∠DGE=180°-90°=90°，
DF⊥EC．

點評：本題考查的是正方形的性質及全等三角形的判定定理及性質，注意在正方形中的特殊三角形的應用，判斷直角三角形全等的HL定理，難度適中．