Question

 (本題8分)已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．

 

1.（1）求證：EG=CG；

2.（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45º，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．

3.（3）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．     

（3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（本小問(wèn)均不要求證明）

 

Answer 1

 

1.（1）證明：在Rt△FCD中，

∵G為DF的中點(diǎn)，∴ CG=FD．同理，在Rt△DEF中，   

EG=FD．   ………………1分

∴ CG=EG．…………………2分

2.（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG．…………………………3分

連接AG，過(guò)G點(diǎn)作MN⊥AD于M，與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn)．

在△DAG與△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，

∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………4分

在△DMG與△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，

∴ △DMG≌△FNG．

∴ MG=NG

  在矩形AENM中，AM=EN． ……………5分

在Rt△AMG 與Rt△ENG中，

∵ AM=EN， MG=NG，

∴ △AMG≌△ENG．

∴ AG=EG．

∴ EG=CG． 

3.（1）中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG．……7分

其他的結(jié)論還有:EG⊥CG．

解析:略