Question

【題目】在直角梯形中，,,分別以邊所在直線為軸，軸建立平面直角坐標系.

（1）求點的坐標；

（2）已知分別為線段上的點，，直線交軸于點，過點E作EG⊥x軸于G，且EG：OG=2．求直線的解析式；

（3）點是（2）中直線上的一個動點，在軸上方的平面內是否存在一點，使以為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）存在，.

【解析】

（1）如圖過點B作BH⊥x軸，垂足為點H，則四邊形OCBH為矩形，在Rt△ABH中，通過解直角三角形可求出BH的長度，進而可得出點B的坐標；
（2）作軸于點，由平行可知，得到，從而可求得EG的長度得到E點坐標，根據OD的長度可得出點D的坐標，再根據點D、E的坐標利用待定系數法即可求出直線DE的解析式；
（3）分OD為邊及OD為對角線兩種情況考慮：①當OD，DM為邊時，作軸于點，則軸，通過相似和解直角三角形可求出點M的坐標，再根據菱形的性質即可求出點N的坐標（因為另一種情況點N在x軸下方，故可不考慮）；②當OD，OM為邊時，延長交軸于點，則軸，設點M的坐標為（a，-a+5），由OM=OD=5，可得出關于x的一元二次方程，解之可得出點M的坐標，再利用菱形的性質可求出點N的坐標；③當OD為對角線時，連結，交于點，則與互相垂直平分，通過函數關系式可求出點M、N的橫坐標，進而求出M、N的坐標．綜上即可得出結論．

（1）如圖，作于點，則易得四邊形為矩形，

在中，

∴，

∴點B的坐標為（3，6）.

(2) 如圖，作軸于點，則

又

又，D在y軸正半軸，

∴點的坐標為（0，5），設直線的解析式為：

則 解得：

直線的解析式為，

（3）存在，

①如圖1，當，四邊形為菱形.作軸于點，則軸，

又時 解得

在中，

②如圖2，當時，四邊形為菱形，延長交軸于點，則軸，

點在直線上

設

在中，

解得：

③如圖3，當時，四邊形為菱形，連結，交于點，則與互相垂直平分，

綜上所述；軸上方的點有三個，分別為

.