Question

解下列方程
（1）（2x-1）²=7（直接開平方法）     
（2）2x²-7x-4=0（用配方法）
（3）2x²-10x=3（公式法）          
（4）（3x-4）²=（3-4x）²（因式分解法）
（5）x2+4-

x2+8

=26（用換元法解） 
（6）（2x²+1）²-2x²-3=0（用換元法解）

Answer 1

分析：（1）用直接開平方法求解就可以了；
（2）先將常數項移到等號的右邊，再將二次項系數化為1，然后配方為完全平方公式后直接用開平方法求解就可以；
（3）先化為一般形式，然后確定a、b、c的值，最后帶入求根公式求解就可以了；
（4）先移項，然后用平方差公式分解因式就可以求出結論；
（5）設

x2+8

=a，將原方程變形為a²-a=30，再解一個關于a的一元二次方程求解；
（6）將原方程變形為：（2x²+1）²-（2x²+1）-2=0，再設2x²+1=a，就可以變為a²-a-2=0，最后可以運用因式分解法求解．

解答：解：（1）開平方，得
2x-1=±

7

，
∴x₁=

7 +1

2

，x₂=

- 7 +1

2

；

（2）移項，得
2x²-7x=4，
化二次項的系數為1，得
x²-

7

2

x=2，
配方，得
x²-

7

2

x+

49

16

=2+

49

16

，
（x-

7

4

）²=

81

16

開平方，得
x-

7

4

=±

9

4

，
∴x₁=4，x₂=-

1

2

；

（3）移項，得
2x²-10x-3=0，
∴a=2，b=-10，c=-3，
∴△=100+24=124＞0，
∴x=

10± 124

4

，
∴x₁=

5+ 31

2

，x₂=

5- 31

2

；

（4）移項，得
（3x-4）²-（3-4x）²=0
分解因式，得
（3x-4+3-4x）（3x-4-3+4x）=0，
∴-x-1=0或7x-7=0，
∴x₁=-1，x₂=1；

（5）原方程變形為：
x2+8-

x2+8

=30，
設

x2+8

=a，將原方程變形為：
a²-a=30，
移項，得
a²-a-30=0，
因式分解，得
（a+5）（a-6）=0，
∴a+5=0或a-6=0，
∴a₁=-5（舍去），a₂=6，
∴

x2+8

=6，
解得：x=±2

7

，
經檢驗，x=±2

7

是原方程的根；

（6）原方程變形為：
（2x²+1）²-（2x²+1）-2=0，
設2x²+1=a，則原方程變為：
a²-a-2=0，
解得：
a₁=-1，a₂=2，
當a=-1時，
2x²+1=-1，
△＜0，原方程無解，
當a=2時，
2x²+1=2，
解得：x=±

2

2

點評：本題考查了換元法、直接開平方法，因式分解法、公式法解一元二次方程和無理方程，在解無理方程時要檢驗，這是解答者容易忽略的地方．